Question

9．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形时．
（1）求P点的坐标；
（2）求满足条件的△ODP的周长最小值．（要有适当的图形和说明过程）

Answer 1

分析 （1）当P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5时分别作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐标；
（2）作点D关于BC的对称点D′，连接OD′交BC于P，则这时的△POD的周长最小，即△POD的周长=OD′+OD，根据勾股定理得到OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{91}$，于是得到结论．

解答 解：（1）当P₁O=OD=5时，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D时，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P₃D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
当P₄D=OD=5时，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）；

（2）作点D关于BC的对称点D′，连接OD′交BC于P，
则这时的△POD的周长最小，
△POD的周长=OD′+OD，
∵点D是OA的中点，
∴OD=5，DD′=8，
∴OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{91}$，
∴△POD的周长=$\sqrt{91}$+5．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．