Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD，点O是对角线BD的中点，BD=5，tan∠DBC=

4

3

，点P是边AB上的一个动点，直线PO交直线AD于点M．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）当△APM和△ABD相似时，求BP的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：（1）由tan∠DBC=

4

3

，且AD∥BC可求得AB=4，AD=3，再过点C作CE⊥AD交AD于点E，在Rt△CED中可求得CD的长，可求得其周长；
（2）由△APM和△ABD相似可知∠M=∠B，可得∠BPO=∠ODA，可证得△BOP∽△BAD，利用相似比可求得BP．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC，
∴tan∠BDA=∠DBC=

4

3

，
∴

AB

AD

=

4

3

，且BD=5，
∴AB=4，AD=3，
如图，过点C作CE⊥AD交AD于点E，
则CE=AB=4，
设BC=CD=x，则DE=3-x，
在Rt△CED中，由勾股定理可得：x²=4²+（3-x）²，解得x=

25

6

，
∴AB+BC+CD+DA=4+3+

25

6

+

25

6

=

46

3

，
即梯形ABCD的周长为

46

3

；

（2）当△APM和△ABD相似时
有∠PMA=∠BDA或∠PMA=∠ABD，
当∠PMA=∠BDA时，则OM=OD，且O为BD中点，所以OM=OD=OA，此时M点与A点重合，不符合题意，
当∠PMA=∠ABD时，
∵∠PMA+∠MPA=∠PMA+∠BPO=90°，∠PBO+∠BDA=90°，
∴∠BPO=∠BDA，且∠ABD为公共角，
∴△BPO∽△BDA，
∴

BP

BD

=

BO

BA

，即

BP

5

=

5 2

4

，
解得BP=

25

8

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，在（1）中求得BC长是解题的关键，在（2）中证明△BPO∽△BDA是解题的关键．