Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．
（1）①BO=

 

      ②求证：CD是⊙P的切线；
（2）点G为坐标轴上任意一点，△ABG为直角三角形，求点G的坐标；
（3）当OP=2时，连接PB交CD于F，求DF的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）①根据两点间的距离公式可计算出OB=10，
②连接PC，如图1，由OA=10得OA=OB，根据等腰三角形的性质得∠B=∠OAB，再由PA=PC得到∠PAC=∠PCA，则∠PCA=∠B，根据平行线的判定得到PC∥OB，然后根据平行线的性质由CD⊥OB得到PC⊥OB，再根据切线的判定定理得CD是⊙P的切线；
（2）分类讨论：当G点在x轴上，设G点坐标为（m，0），利用两点间的距离公式得到AB²=（10-6）²+8²，AG²=（10-m）²，BG²=（6-m）²+8²，若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+（10-m）²=（6-m）²+8²；若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+（6-m）²+8²=（10-m）²；若AG²+BG²=AB²，即（10-m）²+（6-m）²+8²=（10-6）²+8²，然后分别解方程求出m的值得到G点坐标；
当G点在y轴上，设G点坐标为（0，t），同样得到AB²=（10-6）²+8²，AG²=10²+t²，BG²=6²+（t-8）²，也同样得到关于t的方程，解方程求出t即可得到G点坐标；
（3）作BH⊥OA于H，PQ⊥OB于Q，如图2，先计算出AB=4

5

，利用PC∥OB，根据平行线分线段成比例定理可计算出BC=

4 5

5

，再证明Rt△OQP∽Rt△OHB，
利用相似比计算出PQ=

8

5

，易得CD=

8

5

；接着在Rt△BDC中利用勾股定理计算出BD=

4

5

，然后证明△BDF∽△PCF，利用相似比得

DF

FC

=

1

10

，再根据比例的性质可计算出DF．

解答：（1）①解：∵B点坐标为（6，8），
∴OB=

62+82

=10，
故答案为10；
②连接PC，如图1，
∵点A（10，0），
∴OA=10，
∴OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCA=∠B，
∴PC∥OB，
∵CD⊥OB，
∴PC⊥OB，
∴CD是⊙P的切线；
（2）解：当G点在x轴上，设G点坐标为（m，0），
而A（10，0），B（6，8），则AB²=（10-6）²+8²，AG²=（10-m）²，BG²=（6-m）²+8²，
若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+（10-m）²=（6-m）²+8²，解得m=10（舍去）；
若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+（6-m）²+8²=（10-m）²，解得m=-10，此时G点坐标为（-10，0）；
若AG²+BG²=AB²，即（10-m）²+（6-m）²+8²=（10-6）²+8²，解得m₁=10（舍去），m₂=6，此时G点坐标为（6，0）；
当G点在y轴上，设G点坐标为（0，t），则AB²=（10-6）²+8²，AG²=10²+t²，BG²=6²+（t-8）²，
若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+10²+t²=6²+（t-8）²，解得t=-5，此时G点坐标为（0，-5）；
若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+6²+（t-8）²=10²+t²，解得t=5，此时G点坐标为（0，5）；
若AG²+BG²=AB²，即10²+t²+6²+（t-8）²=（10-6）²+8²，此方程无解，
综上所述，点G的坐标为（-10，0）、（6，0）、（0，-5）、（0，5）；
（3）解：作BH⊥OA于H，PQ⊥OB于Q，如图2，∵OP=2，
∴PA=10-2=8，
∴PC=8，
∵A（10，0），B（6，8），
∴AB=

(10-6)2+82

=4

5

，
∵PC∥OB，
∴

BC

AB

=

OP

OA

，即

BC

4 5

=

2

10

，解得BC=

4 5

5

，
∵∠POQ=∠BOH，
∴Rt△OQP∽Rt△OHB，
∴

PQ

BH

=

OP

OB

，即

PQ

8

=

2

10

，解得PQ=

8

5

，
∵CD⊥OB，PC⊥CD，
∴四边形PCDQ为矩形，
∴CD=PQ=

8

5

，
在Rt△BDC中，∵CD=

8

5

，BC=

4 5

5

，
∴BD=

BC2-CD2

=

4

5

，
∵BD∥PC，
∴△BDF∽△PCF，
∴

DF

FC

=

BD

PC

=

4 5

8

=

1

10

，
∴

DF

DF+FC

=

1

1+10

，即

DF

8 5

=

1

11

∴DF=

8

55

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、等腰三角形的性质；会运用勾股定理、两点间的距离公式和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．