Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．

(1)如图1，连接DP、PQ，则S△DPQ＝_____(用含t的式子表示)；

(2)如图2，M、N分别为AB、AD的中点，当t为何值时，四边形MNQP为平行四边形？请说明理由；

(3)如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．

Answer 1

【答案】(1)15﹣t；(2)t＝5时，四边形MNQP为平行四边形；(3)AQ⊥CQ.

【解析】

(1)由勾股定理可求BD＝10，由三角形的面积公式和S△DPQ＝(S△BED﹣S△BDP)可求解；

(2)当t＝5时，可得BP＝5＝BE，由中位线定理可得MN∥BD，MN＝BD＝5，PQ∥BD，PQ＝BD＝5，可得MN∥PQ，MN＝PQ，可得结论．

(3)连接BQ，由等腰三角形的性质可得∠AQD+∠BQA＝90°，由直角三角形的性质可得DQ＝CQ，∠DCQ＝∠CDQ，由“SAS”可证△ADQ≌△BCQ，可得∠AQD＝∠BQC，即可得结论．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，

∴BC＝8，CD＝6，

∴BD＝＝10

∴BD＝BE＝10

∵Q为DE的中点，

∴S△DPQ＝S△DPE，

∴S△DPQ＝(S△BED﹣S△BDP)＝,

故答案为15﹣t

(2)当t＝5时，四边形MNQP为平行四边形，

理由如下：∵M、N分别为AB、AD的中点，

∴MN∥BD，MN＝BD＝5，

∵t＝5时，

∴BP＝5＝BE，且点Q是DE的中点，

∴PQ∥BD，PQ＝BD＝5

∴MN∥PQ，MN＝PQ

∴四边形MNQP是平行四边形

(3)AQ⊥CQ

理由如下：如图，连接BQ，

∵BD＝BE，点Q是DE中点，

∴BQ⊥DE，

∴∠AQD+∠BQA＝90°

∵在Rt△DCE中，点Q是DE中点，

∴DQ＝CQ，

∴∠DCQ＝∠CDQ，且∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ADQ＝∠BCQ，且BC＝AD，DQ＝CQ

∴△ADQ≌△BCQ(SAS)

∴∠AQD＝∠BQC，且∴∠AQD+∠BQA＝90°

∴∠BQC+∠BQA＝90°

∴∠AQC＝90°

∴AQ⊥CQ