Question

【题目】已知，抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（4，0），与y轴的交点为C．

（1）求出抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-2；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由A和B两点在抛物线上，故把两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，从而确定出抛物线解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即为C的纵坐标，写出C的坐标即可；

（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似，理由为：根据题意画出图形，如图所示，根据题意分别求出OA，OB及OC的长，设出P点的横坐标为m，代入抛物线解析式表示出纵坐标，因纵坐标为负值，求出其纵坐标的相反数即为PM的长，且用OM﹣OA表示出AM的长，若三角形相似，根据对应点对应不同分两种情况，由相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，分别求出方程的解即可得到m的值，从而确定出P的坐标．

试题解析：解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入抛物线解析式得：

，②﹣①×4得：12a=﹣6，解得：a=﹣，把a=﹣代入①，解得：b=，所以方程组的解为：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2，令x=0，解得y=2，则C的坐标为（0，﹣2）；

（2）存在．根据题意画出图形，如图所示，设P的坐标为（m，﹣m2+m﹣2）（m＞4），根据题意得：OA=1，OC=2，OB=4，则PM=m2﹣m+2，MA=MO﹣OA=m﹣1，若△BOC∽△AMP，∴=，即=，化简得：m2﹣6m+5=0，即（m﹣1）（m﹣5）=0，解得：m1=1（舍去），m2=5，则P坐标为（5，﹣2）；

若△BOC∽△PMA，∴=，即=，化简得：m2﹣9m+8=0，即（m﹣1）（m﹣8）=0，解得：m1=1（舍去），m2=8，则P的坐标为（8，﹣14）．

综上所述：满足题意的P有两个，其坐标分别为（5，﹣2）或（8，﹣14）．