Question

9．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当点E在⊙O上的什么位置时，BE=AD，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，易证△OAB是等边三角形，则有∠BAO=∠BOA=∠ABO=60°，要证BD是⊙O的切线，只需证∠DBO=90°，只需证∠ABD=30°即可；
（2）当点E在$\widehat{BC}$的中点时，易证∠BAE=∠BEA=30°，即可得到BE=AB，再结合条件AB=AD就可解决问题．

解答 解：（1）连接OB，如图，
∵AB=AO=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BAO=∠BOA=∠ABO=60°．
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAO=2∠D=2∠ABD=60°，
∴∠D=∠ABD=30°，
∴∠DBO=90°，
∴BD是⊙O的切线；

（2）当点E在$\widehat{BC}$的中点时，BE=AD．
理由如下：
∵点E是$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BAE=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°．
∵∠BEA=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB．
∵AB=AD，
∴BE=AD．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆弧与圆周角的关系等知识，要证直线与圆相切，若已知直线与圆的交点，只需证过该点的半径与直线垂直；若未知直线与圆的交点，只需证圆心到直线的距离等于半径．