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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE90°,ADAE

1)如果ABAC,∠BAC90°.①当点D在线段BC上时,如图1,线段CEBD的位置关系为___________,数量关系为___________

②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.

2)如图3,如果ABAC,∠BAC90°,点D在线段BC上运动。探究:当∠ACB多少度时,CEBC?请说明理由.

【答案】(1)①垂直,相等.②都成立,理由见解析;(2)45°,理由见解析

【解析】

试题(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系;
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;
(2)先过点AAG⊥ACBC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论.

试题解析:

解(1):(1)CEBD位置关系是CE⊥BD,数量关系是CE=BD.
理由:如图1,∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE (SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即 CE⊥BD.
故答案为:垂直,相等;

②都成立,理由如下:

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC

∴∠BAD=∠CAE

在△DAB与△EAC中,

∴△DAB≌△EAC

CEBD,∠B=∠ACE

∴∠ACB+∠ACE=90°,即CEBD

(2)当∠ACB=45°时,CEBD(如图).

理由:过点AAGACCB的延长线于点G,则∠GAC=90°,

∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB

∴∠AGC=90°﹣45°=45°,

∴∠ACB=∠AGC=45°,

ACAG

在△GAD与△CAE中,

∴△GAD≌△CAE

∴∠ACE=∠AGC=45°,

BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即CEBC.

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