【题目】如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时,如图1,线段CE、BD的位置关系为___________,数量关系为___________
②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.
(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动。探究:当∠ACB多少度时,CE⊥BC?请说明理由.
【答案】(1)①垂直,相等.②都成立,理由见解析;(2)45°,理由见解析
【解析】
试题(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系;
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;
(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论.
试题解析:
解(1):(1)CE与BD位置关系是CE⊥BD,数量关系是CE=BD.
理由:如图1,∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
又 BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE (SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即 CE⊥BD.
故答案为:垂直,相等;
②都成立,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△DAB与△EAC中,
∴△DAB≌△EAC,
∴CE=BD,∠B=∠ACE,
∴∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD;
(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BD(如图).
理由:过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°﹣45°=45°,
∴∠ACB=∠AGC=45°,
∴AC=AG,
在△GAD与△CAE中,
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGC=45°,
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即CE⊥BC.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)求证:该方程有两个不等的实根;
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系 中,定义直线 与双曲线 的交点 (m、n为正整数)为 “双曲格点”,双曲线 在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”.
(1)①“双曲格点” 的坐标为;
②若线段 的长为1个单位长度,则n=;
(2)图中的曲线 是双曲线 的一条“派生曲线”,且经过点 ,则 的解析式为 y=;
(3)画出双曲线 的“派生曲线”g(g与双曲线 不重合),使其经过“双曲格点” 、 、 .
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【题目】计算题:
(1)(-78) +(+5)+(+78) (2)(+23)+(-17)+(+6)+(-22)
(3)[45-(-+)×36]÷5 (4)99×(-36)
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【题目】如图1,数轴上,O点与C点对应的数分别是0、60(单位:单位长度),将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上(A在B的左边),若将直尺在数轴上水平移动,当A点移动到B点的位置时,B点与C点重合,当B点移动到A点的位置时,A点与O点重合.
(1)直尺的长为多少个单位长度(直接写答案)
(2)如图2,直尺AB在数轴上移动,有BC=4OA,求此时A点对应的数;
(3)如图3,以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子,将直尺放入篷内的数轴上的某处(看不到直尺的任何部分,A在B的左边),将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动,直到完全看到直尺,所经历的时间为t1、t2, 若t1﹣t2=2(秒),求直尺放入蓬内,A点对应的数为多少?
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【题目】如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.有以下结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F.
(1)求证:EO=FO;(2)若CE=4,CF=3,你还能得到那些结论?
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【题目】如图,已知两点A、B.
(1)画出符合要求的图形
①画线段AB;
②延长线段AB到点C,使BC=AB;
③反向延长线段AB到点D,使DA=2AB;
④分别取BC、AD的中点M、N.
(2)在(1)的基础上,已知线段AB的长度是4cm,求线段MN的长度.
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