Question

18．二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交A、B两点，与y轴交C点，A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式．

Answer 1

分析 由于已知抛物线与x轴交点坐标，则可设交点式y=a（x-1）（x+3），则设C点坐标为（0，t），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（1+3）|t|=6，解得t=3或t=-3，则C（0，3）或（0，-3），然后分类讨论：把C（0，3）和（0，-3）分别代入y=a（x-1）（x+3）中求出对应的a的值，从而可确定相应函数关系式．

解答 解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），C点坐标为（0，t），
∵△ABC的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$•（1+3）|t|=6，解得t=3或t=-3，
∴C（0，3）或（0，-3），
当C（0，3）时，a•（-1）•3=3，解得a=-1，此时函数解析式为y=-（x-1）（x+3），即y=-x²-2x+3；
当C（0，-3）时，a•（-1）•3=-3，解得a=1，此时函数解析式为y=（x-1）（x+3），即y=x²+2x-3；
∴该二次函数的关系式为y=-x²-2x+3或y=x²+2x-3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．