如图(1).在Rt△ABC中.AB=AC.点D位直线BC上一动点以AD为边作正方形ADEF.连接CF．初步感知:(1)当点D在边BC上时.求证:BD=CF,解决问题:.当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时.请写出AC.CF.CD之间存在的数量关系.并说明理由,拓展研究:.当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时.请直接写出AC.CF.CD之间存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图（1），在Rt△ABC中，AB=AC，点D位直线BC上一动点（点D不与B，C重合）以AD为边作正方形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），连接CF．
初步感知：
（1）当点D在边BC上时，求证：BD=CF；
解决问题：
（2）如图（2），当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
拓展研究：
（3）如图（3），当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，请直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

分析（1）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形得出AF=AD，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；
（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答（1）证明：△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF．
∵∠BAC=∠DAF=90°．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠DAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF；

（2）解：存在数量关系为：CF=$\sqrt{2}$AC+CD；
理由：由（1）同理可得△ABD≌△ACF．
∴BD=CF，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴BD=BC+CD=$\sqrt{2}$AC+CD，
∴CF=$\sqrt{2}$AC+CD；

（3）CD=$\sqrt{2}$AC+CF；
理由：由（1）同理可得△ABD≌△ACF．
∴BD=CF，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴CD=BC+BD=$\sqrt{2}$AC+CF．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．

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