Question

在菱形ABCD中，点Q是对角线DB上一点，连接CQ并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F，连接AQ．
（1）求证：∠QAD=∠QCD；
（2）若菱形的边长为2，QF=2CQ，QA⊥FB，求BQ的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据菱形性质得出DC=AD，∠CDQ=∠ADQ，根据SAS推出△CDQ≌△ADQ即可；
（2）证△DQC∽△BQF，求出CQ的长，求出AQ长，根据勾股定理即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD，∠CDQ=∠ADQ，
在△CDQ和△ADQ中

DQ=DQ ∠CDQ=∠ADQ DC=AD

∴△CDQ≌△ADQ（SAS），
∴∠QAD=∠QCD；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AB=2，DC∥AB，
∴△DQC∽△BQF，
∴

DC

BF

=

CQ

QF

，
∵DC=AB=2，QF=2CQ，
∴BF=2DC=4，
∴AF=4-2=2，
在Rt△QAF中，由勾股定理得：QF²=AQ²+AF²，
∴（2CQ）²=CQ²+2²，
∴CQ=

2 3

3

，
即AQ=CQ=

2 3

3

，
在Rt△QAB中，BQ=

AQ2+AB2

=

( 2 3 3 )2+22

=

4 3

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，求出△CDQ≌△ADQ和得出关于CQ的方程是解此题的关键．