【题目】在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;
(3)若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.
【答案】(1)y=-x2+3x+4;(2)△AMA′的面积最大S△AMA′=8,M(2,6);(3)当P1(0,4),P2(3,4),P3(,-4),P4(
,-4)时,P、N、B、Q构成平行四边形;当这个平行四边形为矩形时,N1(0,0),N2(3,0).
【解析】试题分析:(1)先由OA′=OA得到点A′的坐标,再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式;(2)连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴,交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积=△AMA′的面积+△AMN的面积=OA′MN,设点M的横坐标为x,借助抛物线的解析式和AA′的解析式,建立MN的长关于x的函数关系式,再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式,再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标;(3)在P、N、B、Q 这四个点中,B、Q 这两个点是固定点,因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形,再求解.
试题解析:(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,点A的坐标是(0,4),∴点A′的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,4).
∵抛物线过点C,A,A′,设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),可得:
. 解得:
.∴抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4.
(2)连接AA′,设直线AA′的函数解析式为y=kx+b,可得
.解得:
.
∴直线AA'的函数解析式是y=-x+4.
设M(x,-x2+3x+4),
S△AMA′=×4×[-x2+3x+4一(一x+4)]=一2x2+8x=一2(x-2)2+8.
∴x=2时,△AMA′的面积最大S△AMA′=8.
∴M(2,6).
(3)设P点的坐标为(x,-x2+3x+4),当P、N、B、Q构成平行四边形时,
①当BQ为边时,PN∥BQ且PN=BQ,
∵BQ=4,∴一x2+3x+4=±4.
当一x2+3x+4=4时,x1=0,x2=3,即P1(0,4),P2(3,4);
当一x2+3x+4=一4时,x3=,x4=
,即P3(
,-4),P4(
,-4);
②当BQ为对角线时,PB∥x轴,即P1(0,4),P2(3,4);
当这个平行四边形为矩形时,即Pl(0,4),P2(3,4)时,N1(0,0),N2(3,0).
综上所述,当P1(0,4),P2(3,4),P3(,-4),P4(
,-4)时,P、N、B、Q构成平行四边形;当这个平行四边形为矩形时,N1(0,0),N2(3,0).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知网格上最小的正方形的边长为1.
(1)分别写出A,B,C三点的坐标;
A_____________;B_____________;C _____________.
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′;
(3)求△ABC的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列说法:
①在直角三角形ABC中,已知两边长为3和4,则第三边长为5;
②三角形的三边a、b、c满足+
=
,则
C=90
;
③△ABC中,若A:
B:
C=1:5:6,则△ABC是直角三角形;
④△ABC中,若a:b:c=1:2: ,则这个三角形是直角三角形。
其中,错误的说法的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图:AD与⊙O相切于点D,AF经过圆心与圆交于点E、F,连接DE、DF,且EF=6,AD=4.
(1)证明:AD2=AEAF;
(2)延长AD到点B,使DB=AD,直径EF上有一动点C,连接CB交DF于点G,连接EG,设∠ACB=α,BG=x,EG=y.
①当α=900时,探索EG与BD的大小关系?并说明理由;
②当α=1200时,求y与x的关系式,并用x的代数式表示y.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某年级380名师生秋游,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表.
甲种客车 | 乙种客车 | |
载客量(座/辆) | 60 | 45 |
租金(元/辆) | 550 | 450 |
(1)设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元.求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式;
(2)当甲种客车有多少辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com