Question

10．在平行四边形ABCD中，过点A作两邻边CB，CD的垂线段AP，AQ，连接PQ，作AM⊥PQ于点M，作PN⊥AQ于点N，AM，PN交于点K，AC中点为点O，当点K，O，Q在同一条直线上时，若PQ=3.5，AC=4，则AK的长度为$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 连接KQ，由已知条件可知K是△APQ垂心，由此可以证明KQ垂直平分AP，AQ垂直平分CD，四边形KPCQ是平行四边形，AK=PK=CQ=QD即可解决问题．

解答 解：连接KQ，
∵AM⊥PQ，PN⊥AQ，AM、PN交于点K，
∴点K是垂心，
∴KQ⊥AP，
∴BC⊥AP，
∴KQ∥BC，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴BC∥AD∥KQ
∵K、O、Q在同一直线上，AO=OC，
∴DQ=QC，
∵AQ⊥DC，
∴AD=AC=4，
同理KQ垂直平分AP，
∴QA=QP=3.5，KA=KP，
∵PN⊥AQ，CD⊥AQ，
∴PN∥CD，∵KQ∥CB，
∴四边形KPCQ是平行四边形，
∴PK=CQ=DQ=AK，
∴AK=DQ=$\sqrt{A{D}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查了垂心的概念、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，通过垂直平分线的性质证得QA=QP、AC=AD是解题的关键．