Question

【题目】（问题提出）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？

（阅读理解）

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．

（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（问题解决）

（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是　 　．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是　 　．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是　 　．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是　 　，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为　 　．

（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．

（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．

（拓展应用）

请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．

Answer 1

【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和，3； （2）a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2；（3）6；（4）1019090．

【解析】

（1）根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解；

（2）由题意可得出，取中间值a＝2时，求得最小值；

（3）由题意可得出，取中间值a＝3时，求得最小值；

（4）由题意可得出，取中间值a＝1010时，求得最小值．

解：（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；

当a在5和2之间时（包括在5，2上），

可以看出a到5和2的距离之和等于3，

此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3．

（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和．

当a取中间数时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2；

如图所示：

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2．

（3）当a取中间数3时，绝对值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6．

（4）当a取中间数1010时，绝对值最小，

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为：

1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．