Question

已知在正方形ABCD中，点P是直线CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别E、F，点O是BD中点，OH⊥AP于H，当点P在CD上时，易证OH=

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（BE-DF）．若点P在DC的延长线上，OH、BE、DF具有怎样的数量关系？若点P在DC的反向延长线上呢？

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：连接DH并延长与BE相交于点K，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得OH∥BE，然后得到DH=HK，判断出OH是△BDK的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=

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BK，再利用“角角边”证明△DHF和△KHE全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=KE，从而得到BK=BE-DF，等量代换即可得证；点P在DC的延长线上和反向延长线上时同理可证．

解答：证明：如图1，连接DH并延长与BE相交于点K，
∵BE⊥PA，OH⊥AP，
∴OH∥BE，
∵点O是BD中点，
∴DH=HK，
∴OH是△BDK的中位线，
∴OH=

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BK，
在△DHF和△KHE中，

∠DHF=∠KHE ∠DFH=∠KEH=90° DH=HK

，
∴△DHF≌△KHE（AAS），
∴DF=KE，
∵BK=BE-KE，
∴BK=BE-DF，
∴OH=

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（BE-DF）；
如图2，点P在DC的延长线上时，同理可证BE=KF，OH=

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DK，
所以，OH=

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（DF-BE）；
如图3，点P在DC的反向延长线上时，同理可证BE=KF，OH=

1

2

DK，
所以，OH=

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（BE+DF）．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和以OH为中位线的三角形是解题的关键．