Question

如图所示，一个△ABC，D是AC边上的一点，E是AB边上的一点，F是线段BD的中点，G是线段CE的中点，求△AFG的面积和四边形BCDE的面积比．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：取DE的中点M，连接AM、FM、GM、EF、FG、DG、BG，先判断MG∥AC，从而可得S_△ADM=S_△ADG，同理可得：S_△AEM=S_△AEF，然后通过面积转化得出S_△AFG=S_{四边形EFGD}，再确定S_{四边形BCDE}=2S_{四边形BEDG}，即可得出答案．

解答：解：取DE的中点M，连接AM、FM、GM、EF、FG、DG、BG，
∵M是DE的中点，G是CE的中点，
∴MG∥AC，
∴S_△ADM=S_△ADG，
同理可得：S_△AEM=S_△AEF，
∴S_△ADG+S_△AEF=S_△ADM+S_△AEM=S_△ADE，
∵S_{五边形AEFGD}=S_△ADG+S_△AEF+S_△AFG，
S_{五边形AEFGD}=S_△ADE+S_{四边形EFGD}，
∴S_△AFG=S_{四边形EFGD}，
∵F是BD中点，
∴S_△BED=2S_△DEF，S_△BGD=2S_△DGF，
∴S_△BED+S_△BGD=2S_△DEF+2S_△DGF，
∴S_{四边形BEGD}=2S_{四边形EFGD}=2S_△AFG，
∵G是CE的中点，
∴S_△BCE=2S_△BEG，S_△DCE=2S_△DEG，
∴S_△BCE+S_△DCE=2S_△BEG+2S_△DEG，
∴S_{四边形BCDE}=2S_{四边形BEDG}=4S_△AFG．
故△AFG的面积和四边形BCDE的面积比为1：4．

点评：本题考查了面积及等积变换，解答本题的关键是作出辅助线，根据等底同高的两三角形面积相等及平行线间的距离相等等知识点，将四边形BCDE的面积转化．