Question

19．如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．
（1）若AB=5，CF=3，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DG．

Answer 1

分析 （1）AE平分∠BAD，则∠BAE=∠DAE；AB∥CD，则∠BAE=∠DEA，从而有∠DAE=∠DEA，所以，DE=DA，由勾股定理求出DF，得出AD，即可求出DE的长；
（2）结论：AB=DG+FC；将△CDF平移到△ABH的位置，将△ADG顺时针旋转90°到△AHI的位置，证明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，进一步得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥DC．CD=AB=5，
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∵DF⊥BC，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AD=DF=4，
∴DE=4；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°，
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，如图所示：
则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三点共线，
∴BF+HB=BF+FC，从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三点共线．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+FC，
∴AB=CF+DG．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判断，用平移，旋转的方法证明问题的能力．