Question

已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（-2，0）和点C（0，-8）

（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KMC周长最小时，求K的坐标；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线按O-A-C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线按O-C-A的路线运动，当P、Q两点相遇时它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S；
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）待定系数法即可求得解析式；
（2）根据解析式求得顶点的坐标，根据点C的坐标求得C的对称点C′，进而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点即为K的坐标；
（3）①由PQ∥OC，得出△APQ∽△AOC，根据相似三角形的对应边成比例得出

6-3t

6

=

18-8t

10

，进而求得t=

8

3

，因为t=

8

3

＞2不满足1＜t＜2；所以不存在PQ∥OC；②分三种情况讨论求得；

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-6）（a≠0），
∵图象过点（0，-8），
∴a=

2

3

．
∴二次函数的解析式为y=

2

3

x²-

8

3

x-8；

（2）∵y=

2

3

x²-

8

3

x-8=

2

3

（x²-4x+4-4）-8=

2

3

（x-2）²-

32

3

，
∴点M的坐标为（2，-

32

3

）．
∵点C的坐标为（0，-8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）．
∴直线C′M的解析式为：y=-

28

3

x+8
令y=0
得-

28

3

x+8=0
解得：x=

6

7

∴点K的坐标为（

6

7

，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴

AP

AO

=

AQ

AC

∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴

6-3t

6

=

18-8t

10

∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；

②分情况讨论如下，
当0≤t≤1时
S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×3t×8t=12t²；
当1＜t≤2时
作QE⊥OA，垂足为E，
S=

1

2

OP•EQ=

1

2

×3t×

72-32t

5

=-

48

5

t²+

108

5

t，
当2＜t＜

24

11

 时
作OF⊥AC，垂足为F，则OF=

24

5

S=

1

2

QP•OF=

1

2

×（24-11t）×

24

5

=-

132

5

t+

288

5

；

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、三角形的面积等知识点，难点在于（3）②分情况讨论，（2）利用对称性判断出点M的位置．