如图.等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AD=AB=CD=2.∠C=60°.M是BC的中点．(1)求证:△MDC是等边三角形,(2)将△MDC绕点M旋转.当MD与线段AB交于一点E.MC同时与线段AD交于一点F时.点E.F和点A构成△AEF.点E.F和点M构成△MEF.试判断△MEF的形状．△MEF的形状是等边三角形．的条件下.探究将△MDC绕点M旋转的过程中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与线段AB交于一点E，MC（即MC′）同时与线段AD交于一点F时，点E、F和点A构成△AEF，点E、F和点M构成△MEF，试判断△MEF的形状．△MEF的形状是等边三角形．（直接写出结论）
（3）在（2）的条件下，探究将△MDC绕点M旋转的过程中是否存在点E、F，使△AEF的周长最小，周时△AEF的面积也最大？若存在，请说明理由并求出此时△AEF的周长最小值和△AEF的面积最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）连接BD，首先证明出∠ADB=∠DBC，结合题干条件得到∠BDC=90°，进而得到DC=MD，即可△MDC是等边三角形；
（2）连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，根据ASA证明△BME≌△AMF，于是得到BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，结合∠EMF=∠DMC=60°，即可证明△MEF是等边三角形；
（3）过D作DN⊥BC于N，首先由勾股定理求出DN的长，△AEF的周长最小则边长最短，MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，据此求出△AEF的周长最小值和△AEF的面积最大值．

解答解：（1）连接BD，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵在等腰梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，
∴DC=MC，
∴△MDC是等边三角形；

（2）解：连接AM，如图2，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FAM}\\{BM=AM}\\{∠BME=∠AMF}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，
故△EMF是等边三角形；

（3）过D作DN⊥BC于N，如图2
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=$\sqrt{3}$，
∵△EMF是等边三角形，
∴EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是$\sqrt{3}$，即EF的最小值是$\sqrt{3}$，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+$\sqrt{3}$，
此时△AEF面积=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形AMBN}-S_△EMF，
即$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+$\sqrt{3}$，△AEF的面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评本题主要考查了几何变换的综合题，此题涉及到等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，此题第三问有一定的难度，找出等边三角形EMF边的最小值等于点M到AD的距离等于DN的长是解答本小题的难点．

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