Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线y=

1

2

x+c有交点时，求c的取值范围；
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）本题需先根据图象过A，B两点，即可得出解析式．
（2）抛物线与直线有交点，联立两直线方程求解，△≥0，即可求得c的取值范围．
（3）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

时和当

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

时，得出△APM∽△ACO△APM∽△CAO，分别求出点P的坐标即可．

解答：解：（1）将A（4，0），B（1，0）的坐标代入y=ax²+bx-2得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
故此抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）

y= 1 2 x+c y=- 1 2 x2+ 5 2 x-2

 有交点，
即

1

2

x+c=-

1

2

x²+

5

2

x-2，化简为

1

2

x²-2x+2+c=0，
△≥0，即2²-4×

1

2

×（2+c）≥0，
解得c≤0．

（3）存在．
设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-

1

2

m²+

5

2

m-2，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
则P（2，1），
②当

AM

PM

=

AO

OC

=

1

2

时，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去），
故符合条件的点P的坐标为P（2，1）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求法，两曲线相交转化为根判别式求解，抛物线与相似三角形的问题，综合性较强，是一道好题．