【题目】如图1.在边长为10的正方形中,点在边上移动(点不与点,重合),的垂直平分线分别交,于点,,将正方形沿所在直线折叠,则点的对应点为点,点落在点处,与交于点,
(1)若,求的长;
(2)随着点在边上位置的变化,的度数是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出的度数;
(3)随着点在边上位置的变化,点在边上位置也发生变化,若点恰好为的中点(如图2),求的长.
【答案】(1);(2)不变,45°;(3) .
【解析】
(1)由翻折可知:EB=EM,设EB=EM=x,在Rt△AEM中,根据EM2=AM2+AE2,构建方程即可解决问题.
(2)如图1-1中,作BH⊥MN于H.利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH,∠CBP=∠HBP,即可解决问题.
(3)如图2中,作FG⊥AB于G.则四边形BCFG是矩形,FG=BC,CF=BG.设AM=x,在Rt△DPM中,利用勾股定理构建方程求出x,再在Rt△AEM中,利用勾股定理求出BE,EM,AE,再证明AM=EG即可解决问题.
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=10,
由翻折可知:EB=EM,设EB=EM=x,
在Rt△AEM中,∵EM2=AM2+AE2,
∴x2=42+(10-x)2,
∴x=.
∴BE=.
(2)如图1-1中,作BH⊥MN于H.
∵EB=EM,
∴∠EBM=∠EMB,
∵∠EMN=∠EBC=90°,
∴∠NMB=∠MBC,
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,
∴∠AMB=∠BMN,
∵BA⊥MA,BH⊥MN,
∴BA=BH,
∵∠A=∠BHM=90°,BM=BM,BA=BH,
∴Rt△BAM≌△BHM(HL),
∴∠ABM=∠MBH,
同法可证:∠CBP=∠HBP,
∵∠ABC=90°,
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°.
∴∠PBM=45°.
(3)如图2中,作FG⊥AB于G.则四边形BCFG是矩形,FG=BC,CF=BG.设AM=x,
∵PC=PD=5,
∴PM+x=5,DM=10-x,
在Rt△PDM中,(x+5)2=(10-x)2+25,
∴x=,
∴AM=,
设EB=EM=m,
在Rt△AEM中,则有m2=(10-m)2+()2,
∴m= ,
∴AE=10-,
∵AM⊥EF,
∴∠ABM+∠GEF=90°,∠GEF+∠EFG=90°,
∴∠ABM=∠EFG,
∵FG=BC=AB,∠A=∠FGE=90°,
∴△BAM≌△FGE(AAS),
∴EG=AM= ,
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- .
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+与反比例函数y=(x<0)的图象交于A(-4,a)、B(-1,b)两点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.
(1)求a 、b及k的值;
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、C、F在坐标轴上,E是OA的中点,四边形AOCB是矩形,四边形BDEF是正方形,若点C的坐标为(3,0),则点D的坐标为( )
A. (1,2.5)B. (1,1+ )C. (1,3)D. (﹣1,1+ )
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①AD和EF互相垂直平分;
②AE=AF;
③当∠BAC=90°时,AD=EF;
④DE是AB的垂直平分线.
其中正确的是_________________(填序号).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,中,,,,点是边上一定点,且,点是线段上一动点,连接,以为斜边在的右侧作等腰直角.当点从点出发运动至点停止时,点的运动的路径长为_________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,CG是⊙O的弦∠PCA=∠ABC,CG⊥AB,垂足为D
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:;
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若sin∠P=,CF=5,求BE的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知一次函数y=(2m+4)x+(3﹣n).
(1)当m、n是什么数时,y随x的增大而增大;
(2)当m、n是什么数时,函数图象经过原点;
(3)若图象经过一、二、三象限,求m、n的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB,标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,求建筑物的高.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在第一象限的抛物线上,且点P的横坐标为t,过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式,并求出m的最大值;
(3)在x轴上是否存在点E,使以点B,C,E为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出E点坐标;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com