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【题目】如图1.在边长为10的正方形中,点在边上移动(点不与点重合),的垂直平分线分别交于点,将正方形沿所在直线折叠,则点的对应点为点,点落在点处,交于点

1)若,求的长;

2)随着点在边上位置的变化,的度数是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出的度数;

3)随着点在边上位置的变化,点在边上位置也发生变化,若点恰好为的中点(如图2),求的长.

【答案】1;(2)不变,45°;(3

【解析】

1)由翻折可知:EB=EM,设EB=EM=x,在RtAEM中,根据EM2=AM2+AE2,构建方程即可解决问题.
2)如图1-1中,作BHMNH.利用全等三角形的性质证明∠ABM=MBH,∠CBP=HBP,即可解决问题.
3)如图2中,作FGABG.则四边形BCFG是矩形,FG=BCCF=BG.设AM=x,在RtDPM中,利用勾股定理构建方程求出x,再在RtAEM中,利用勾股定理求出BEEMAE,再证明AM=EG即可解决问题.

1)如图1中,

∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°AB=AD=10
由翻折可知:EB=EM,设EB=EM=x
RtAEM中,∵EM2=AM2+AE2
x2=42+10-x2
x=
BE=
2)如图1-1中,作BHMNH

EB=EM
∴∠EBM=EMB
∵∠EMN=EBC=90°
∴∠NMB=MBC
ADBC
∴∠AMB=MBC
∴∠AMB=BMN
BAMABHMN
BA=BH
∵∠A=BHM=90°BM=BMBA=BH
RtBAM≌△BHMHL),
∴∠ABM=MBH
同法可证:∠CBP=HBP
∵∠ABC=90°
∴∠MBP=MBH+PBH=ABH+CBH=ABC=45°
∴∠PBM=45°
3)如图2中,作FGABG.则四边形BCFG是矩形,FG=BCCF=BG.设AM=x

PC=PD=5
PM+x=5DM=10-x
RtPDM中,(x+52=10-x2+25
x=
AM=
EB=EM=m
RtAEM中,则有m2=10-m2+2
m=
AE=10-
AMEF
∴∠ABM+GEF=90°,∠GEF+EFG=90°
∴∠ABM=EFG
FG=BC=AB,∠A=FGE=90°
∴△BAM≌△FGEAAS),
EG=AM=
CF=BG=AB-AE-EG=10-

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