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【题目】如图,抛物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P在第一象限的抛物线上,且点P的横坐标为t,过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式,并求出m的最大值;

(3)在x轴上是否存在点E,使以点B,C,E为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出E点坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)m=﹣t2+4t(0<t<4),m的最大值为4;(3)存在,E(﹣4,0)或(0,0)或(4﹣4,0).

【解析】

(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)将x=0代入抛物线解析式中可求出点C的坐标,根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,由点P的横坐标为t,即可找出点P、Q的坐标,由此即可用含t的代数式表示出PQ的长度,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;

(3)①由COx轴、QDx轴、∠QBD=CBO,即可得出BQD∽△BCO,即存在点E(0,0)使得BQD∽△BCE;②过点CECBCx轴于点E,由ECBC、QDx轴、∠QBD=CBO,即可得出BQD∽△BEC,再根据点B、C的坐标即可得出∠CBO=45°,利用等腰直角三角形的性质即可得出此时点E的坐标.综上即可得出结论.

(1)∵抛物线y=ax2+3x+c经过A(﹣1,0),B(4,0),

A、B两点坐标代入上式,解得:a=﹣1,c=4,

故:抛物线y=﹣x2+3x+4;

(2)∵将x=0代入抛物线的解析式得:y=4,C(0,4),

把将B(4,0),C(0,4)代入抛物线方程,

解得:直线BC的解析式为:y=﹣x+4.

过点Px的垂线PQ,如图所示:

∵点P的横坐标为t,P(t,﹣t2+3t+4),Q(t,﹣t+4).

PQ=﹣t2+3t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t.

m=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4(0<t<4).

∴当t=2时,m的最大值为4;

(3)存在.如图所示:

EC=BE时,E在原点O,此时点E(0,0),

BC=CE时,E在点B关于y轴对称点,此时点E(﹣4,0),

BC=BE时,BE=4,此时E(4﹣4,0)

即:E(﹣4.0)或(0,0)或(4﹣4,0).

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