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【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(3,0),C(﹣1,0).

(1)求二次函数的解析式;

(2)如图,点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点,二次函数的图象与y轴交于点B,当PB+PC最小时,求点P的坐标;

(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时,求点Q的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(1,2);(3)m=时,S最大,此时Q().

【解析】

(1)把点A(3,0)、C(-1,0)代入y=-x2+bx+c中,解方程即可得到结论;

(2)连结AB,与对称轴交于点P,此时PB+PC最小.根据抛物线解析式求出B(0,3),利用待定系数法求出直线AB的解析式,于是得到结论;

(3)设Q(m,-m2+2m+3),QAB的面积为S,连接QA,QB,OQ,根据S=SOBQ+SAOQ-SAOB求出Sm的关系式,利用函数的性质求出m的值,进而得到结论.

(1)把点A(3,0)、C(-1,0)代入y=-x2+bx+c中,

,解得

则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;

(2)连结AB,与对称轴交于点P,此时PB+PC最小.

y=-x2+2x+3中,当x=0时,y=3,则B(0,3).

设直线AB的解析式为y=mx+n,

A(3,0),B(0,3),

∴直线AB的解析式为y=-x+3,

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴对称轴是直线x=1.

x=1时,y=-1+3=2,

P(1,2);

(3)设Q(m,-m2+2m+3),QAB的面积为S,如图,连接QA,QB,OQ.

S=SOBQ+SAOQ-SAOB

=×3m+×3(-m2+2m+3)-×3×3

=-m2+m

=-(m-2+

∴当m═时,S最大,此时Q().

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