Question

【题目】如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．

（1）若∠AOB＝60，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．

①问： 的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．

②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）CN⊥OB；（2）①②0＜≤

【解析】试题分析：（1）过P作PE⊥OA于E，易证四边形OMPQ为平行四边形．根据三角函数求得PE的长，再根据三角函数求得∠PCE的度数，即可得∠CPM＝90，又因PM∥OB，即可证明CN⊥OB．（2）①设OM＝x，ON＝y，先证△NQP∽△NOC，即可得，把x，y代入整理即可得－的值.②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，可得S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，所以＝．再证△CPM∽△CNO，所以＝＝，用x表示出与x的关系，根据二次函数的性质即可得的取值范围．

试题解析：（1）

过P作PE⊥OA于E．∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形．

∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60，

∴PE＝PM·sin60＝，ME＝，

∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，

∴∠PCE＝30，∴∠CPM＝90，

又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90 ，即CN⊥OB．

（2）①－的值不发生变化． 理由如下：

设OM＝x，ON＝y．∵四边形OMPQ为菱形，∴ OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y－x．

∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O．又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴＝，即＝，

∴6y－6x＝xy．两边都除以6xy，得－＝，即－＝．

②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，

则S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，

∴＝．

∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O．又∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO．∴＝＝．

∴＝＝－（x－3）2＋．

∵0<x<6，由这个二次函数的图像可知，0＜≤．