Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知Q（﹣1，3），A（0，4），点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰Rt△QPH，当OH+AH最小时，点H的横坐标为_____．

Answer 1

【答案】1.5

【解析】

作QN、HM垂直于x轴于N、M，则△QNP≌△PMH，推出PN＝HM，QN＝PM，设OP＝x，得H（x＋3，x＋1），求出点H的运动轨迹即可解决问题．

解：作QN、HM垂直于x轴于N、M，

∵Rt△QPH是等腰三角形，

∴

又

∴

∵QP=PH

∴△QNP≌△PMH，

∴PN＝HM，QN＝PM，设OP＝x，得H（x+3，x+1），

∴H点在直线y＝x-2上运动，

即H点在直线HG上运动，

作A点关于直线y＝x-2的对称点F，

连OF交于点E，

当H点与E点重合时OH+AH最小，

令函数y＝x-2，x=0,得y=-2, 令函数y＝x-2=0,得x=2,

∴G（0，-2），B（2，0）

又k=1,

∴∠HBM=45°

可得∠AMN=45°，则∠FAG=45°

根据对称性可知AG=GF，

∴∠AFG=45°

故GF⊥AG

∴GF=6

则F（6，2）

设直线OF解析式为y=k2x

把F（6，2）代入得2=6k2，

∴k2=-

∴直线OF解析式为y=- x

联立函数y＝x-2，解得x=1.5，y=0.5

∴E点的横坐标为1.5，

故答案为1.5．