Question

在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．

图1                         图2

（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、 PA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．

①在图1中画出图形；

②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由．

Answer 1

解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°．

∴∠1+∠3=90°．

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．-------------------------1分

又∵∠D=∠C，                                                                  2

∴△OCP∽△PDA．---------------------------------------------2分

如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴．∴CP=AD=4．

设OP=x，则CO=8－x．

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x²=(8－x)²+4²．---------------------------------------------3分

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10． -------------------------------------------------4分

∴边AB的长为10．

（2）①----------5分

②在△OCP与△PDA的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M、N在移动过程中，线段EF的长度是不变的．

过点M作MQ∥AN，交PB于点Q，如图．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ．又ME⊥PQ

∴点E是PQ的中点

∵MP=MQ，BN=PM，，．

∴BN=QM，又 MQ∥AN

可证点F是QB的中点

∴EF=． ------------------------------------------------6分

∵△BCP中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8

∴PB=为定值

∴EF为定值．          ----------------------------------------------------------7分

∴在△OCP与△PDA的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M、N在移动过程中，线段EF的长度是不变的它的．