Question

16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）如果AB⊥AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊平行四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）根据直角三角形的性质，可得AD与BC的关系，根据菱形的判定，可得答案．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDB}\\{∠AFE=∠EBD}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边；
（2）AB⊥AC，四边形ADCF是菱形，理由如下：
由（1）可知，四边形ADCF是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵D是AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定．