Question

如图，直线y=-2x-

8

5

交x轴于点A，交y轴于点B，作BC⊥AB交双曲线y=

k

x

于点C，连接AC交y轴于点D，若DB=DC，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先证明DB=DA，再计算出A、B两点坐标，再根据勾股定理可得DA²=b²+（-

4

5

）²，再表示出DB²=[（b-（-

8

5

）]²，进而计算出b的值，从而算出AD的解析式，然后再计算出BC的解析式，再联立两个解析式，从而算出C点坐标，即可算出反比例函数的k值．

解答：解：设D（0，b），
在Rt△ABC中，
∵DC=BD，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠BAC+∠DCB=90°，∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
在y=-2x-

8

5

中，当y=0，x=-

4

5

，当x=0，y=-

8

5

，
∴A（-

4

5

，0），B（0，-

8

5

），
∴DA²=b²+（-

4

5

）²，DB²=[（b-（-

8

5

）]²，
∴b²+（-

4

5

）²=[（b-（-

8

5

）]²，
解得：b=-

3

5

，
设AD解析式为y=mx+b，
-

4

5

m-

3

5

=0
解得：m=-

3

4

，
∴y=-

3

4

x-

3

5

，
∵BC⊥AB，AB的直线解析式为y=-2x-

8

5

，
∴BC的直线解析式为y=

1

2

x-

8

5

，

y= 1 2 x- 8 5 y=- 3 4 x- 3 5

，
解得

x= 4 5 y=- 6 5

，
∴C（

4

5

，-

6

5

），
∵双曲线y=

k

x

过点C点，
∴k=-

24

25

．

点评：此题主要考查了反比例函数综合，关键是根据关键条件DB=DC，计算出D点坐标，求出AD和BC的解析式．