【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,2),点O(0,0).△AOB绕着O顺时针旋转,得△A′OB′,点A、B旋转后的对应点为A′、B′,记旋转角为α.
(I)如图1,若α=30°,求点B′的坐标;
(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA′和直线BB′交于点P,求证:AA′⊥BB′;
(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).
【答案】(1)B'的坐标为(,3);(2)见解析 ;(3)﹣2.
【解析】
(1)设A'B'与x轴交于点H,由OA=2,OB=2,∠AOB=90°推出∠ABO=∠B'=30°,
由∠BOB'=α=30°推出BO∥A'B',由OB'=OB=2推出OH=OB'=,B'H=3即可得出;
(2)证明∠BPA'=90即可;
(3)作AB的中点M(1,),连接MP,由∠APB=90°,推出点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,),所以当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
(Ⅰ)如图1,设A'B'与x轴交于点H,
∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,
∴∠ABO=∠B'=30°,
∵∠BOB'=α=30°,
∴BO∥A'B',
∵OB'=OB=2,
∴OH=OB'=,B'H=3,
∴点B'的坐标为(,3);
(Ⅱ)证明:∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',
∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),
∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,
∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,
即AA'⊥BB';
(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为.
如图,作AB的中点M(1,),连接MP,
∵∠APB=90°,
∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,).
∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】吃香肠是庐江县春节的传统习俗,小严的父亲去年春节前用了元购买猪肉装香肠;今年下半年受非洲猪瘟影响,猪肉出现大幅度涨价,价格比去年上涨了元,
(1)如果去年猪肉价格为元,求今年元比去年少买多少猪肉?(结果用的式子表示)
(2)近期县政府为保障猪肉市场供应,为百姓生活着想,采取一系列惠民政策,猪肉价格下降了元,这样小严的父亲花了买到和去年一样多的猪肉.求小严父亲今年购买猪肉每千克多少元.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小明家1至6月份的用水量统计如图所示,关于这组数据,下列说法错误的是( ).
A、众数是6吨 B、平均数是5吨 C、中位数是5吨 D、方差是
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若∠A=∠D,CD=2.
(1)求∠A的度数.
(2)求图中阴影部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目,八(5)班甲、乙两个小组都想代表班级参赛,为了选择一个比较好的队伍,八(5)班的班委组织了一次选拔赛,甲、乙两组各10人的比赛成绩如下表:
甲组 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙组 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲组成绩的中位数是 分,乙组成绩的众数是 分.
(2)计算乙组的平均成绩和方差.
(3)已知甲组成绩的方差是1.4,则选择 组代表八(5)班参加学校比赛.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下面材料,并解答问题.
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:由分母为﹣x2+1,可设﹣x4﹣x2+3=(﹣x2+1)(x2+a)+b则﹣x4﹣x2+3=(﹣x2+1)(x2+a)+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣(a﹣1)x2+(a+b)
∵对应任意x,上述等式均成立,∴,∴a=2,b=1
∴==+=x2+2+这样,分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和.
解答:
(1)将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
(2)试说明的最小值为8.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小强在做课后习题时,遇到这样一道题:“如图所示,、两村庄在一条河的两岸,从村庄去村庄,需要在河上造一座桥,请问桥造在何处从村庄去村庄的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥与河垂直)”
小强的解题思路,因为桥与河岸垂直,线段是一个不变的量,将它平移到处得线段,总的路程与是相等的,故要使最短,就是求点到点最短即可,所以点应是与的交点.根据上述材料解答下列问题:如图所示:、两个驻军地被两条河隔开,上级安排紧急任务,现要求一名士兵从地出发到地完成这项任务,现要修两座与河岸垂直的桥,问桥建在何处使得这名士兵走的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,河与的宽为,河与的宽为).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com