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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,2),点O(0,0).AOB绕着O顺时针旋转,得A′OB′,点A、B旋转后的对应点为A′、B′,记旋转角为α.

(I)如图1,若α=30°,求点B′的坐标;

Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA′和直线BB′交于点P,求证:AA′BB′;

Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).

【答案】(1)B'的坐标为(,3);(2)见解析 ;(3)﹣2.

【解析】

1)A'B'x轴交于点H,由OA=2,OB=2AOB=90°推出∠ABO=B'=30°,

由∠BOB'=α=30°推出BOA'B',OB'=OB=2推出OH=OB'=,B'H=3即可得出;

(2)证明∠BPA'=90即可;

(3)AB的中点M(1,),连接MP,由∠APB=90°,推出点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,),所以当PMx轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.

Ⅰ)如图1,设A'B'x轴交于点H,

OA=2,OB=2AOB=90°,

∴∠ABO=B'=30°,

∵∠BOB'=α=30°,

BOA'B',

OB'=OB=2

OH=OB'=,B'H=3,

∴点B'的坐标为(,3);

Ⅱ)证明:∵∠BOB'=AOA'=α,OB=OB',OA=OA',

∴∠OBB'=OA'A=(180°﹣α),

∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,

∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,

AA'BB';

Ⅲ)点P纵坐标的最小值为

如图,作AB的中点M(1,),连接MP,

∵∠APB=90°,

∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,).

∴当PMx轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.

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甲组

7

8

9

7

10

10

9

10

10

10

乙组

10

8

7

9

8

10

10

9

10

9

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