Question

是否存在实数m，使关于x的方程x²+mx+1=0与x²+2mx+3=0有公共根？若存在，求出m的值，并解这两个方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：计算题

分析：先设公共根为t，则t²+mt+1=0，t²+2mt+3=0，把两方程相减得到mt=-2，解得t=-

2

m

，再根据方程解的定义（-

2

m

）²+m•（-

2

m

）+1=0，解得m=2或-2，
然后把m的值分别代入原方程后，利用因式分解法求出方程的解．

解答：解：存在．
设x²+mx+1=0与x²+2mx+3=0的公共根为t，
则t²+mt+1=0①，t²+2mt+3=0②，
②-①得mt=-2，解得t=-

2

m

，
把t=-

2

m

代入①得（-

2

m

）²+m•（-

2

m

）+1=0，解得m=2或-2，
当m=2时，x²+mx+1=0变形为x²+2x+1=0，解得x₁=x₂=-1；x²+2mx+3=0变形为x²+4x+3=0，解得x₁=-1，x₂=-3；
当m=-2时，x²+mx+1=0变形为x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；x²+2mx+3=0变形为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．

点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．