Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为6

2

cm，E为AB的中点，点P从D点出发，在对角线DB上运动，速度为2cm/s．
（1）求证：PA=PC；
（2）当P点运动到什么位置时，PA+PE的值最小？请求出PA+PE的最小值；
（3）当PA+PE的值最小时，请求出P点运动的时间．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质求得AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后根据SAS证得△PDA≌△PDC，从而中点PA=PC．
（2）连接CE，交BD于点P，P就是所求的点，根据轴对称的性质和两点之间线段最短，可知CE=PA+PC的最小值．
（3）根据三角形相似的性质求得DP的长，即可求得P点运动的时间．

解答：（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△PDA和△PDC中

AB=CB ∠ABP=∠CBP=45° BP=BP

，
∴△PDA≌△PDC（SAS），
∴PA=PC．
（2）解：如图2，连接CE，交BD于点P，P就是所求的点．
∵点A关于BD的对称点为点C，
∴PE+PA=CE，
根据两点之间线段最短可得CE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为6

2

cm，E是BC边的中点，
∴BE=3

2

cm，
∴CE=

(6 2 )2+(3 2 )2

=4

5

（cm），
即PA+PE的最小值为：4

5

cm．
（3）解：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBE，∠PCD=∠PEB，
∴△BEP∽△DCP，
∴

BE

DC

=

BP

DP

=

1

2

在Rt△ABD中由勾股定理得BD=12
∴DP=8（cm）
∴P点运动时间=8÷2=4s

点评：此题主要考查了正方形的性质和轴对称，三角形相似的性质及勾股定理知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得CE就是AP+PE的最小值是解题关键．