Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE•AB的值．

Answer 1

（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．

（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，
∴BD=BC==2，
∵B为弧CD中点，
∴BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴=，
∴BE•AB=BD•BD=2×2=8．
分析：（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．