Question

16．如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，BM，EN分别垂直平分AD，AC于M，N．
（1）当∠CAD=30°时，请你求出∠BAE的度数．
（2）当∠CAD=45°时，∠BAE=90°，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线求出AB=BD，AE=CE，根据等腰三角形的性质求出∠BAD=∠ADB，∠EAC=∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DAB+∠CAE，即可求出答案；
（2）根据线段垂直平分线求出AB=BD，AE=CE，根据等腰三角形的性质求出∠BAD=∠ADB，∠EAC=∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DAB+∠CAE，即可求出答案．

解答 解：（1）∵BM，EN分别垂直平分AD，AC于M，N，
∴AB=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠ADB，∠EAC=∠ACE，
∵∠CAD=30°，
∴∠DAB+∠CAE=∠ADB+∠ACE=180°-∠CAD=150°，
∴∠BAE=∠DAB+∠CAE-∠CAD=150°-30°=120°；

（2）当∠CAD=45°时，∠BAE=90°，
证明：∵BM，EN分别垂直平分AD，AC于M，N，
∴AB=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠ADB，∠EAC=∠ACE，
∵∠CAD=45°，
∴∠DAB+∠CAE=∠ADB+∠ACE=180°-∠CAD=135°，
∴∠BAE=∠DAB+∠CAE-∠CAD=135°-45°=90°，
即当∠CAD=45°时，∠BAE=90°，
故答案为：45°．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．