[题目]如图1.在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.直线MN过点A且MN∥BC.点D是直线MN上一点.不与点A重合．(1)若点E是图1中线段AB上一点.且DE=DA.请判断线段DE与DA的位置关系.并说明理由,(2)请在下面的A.B两题中任选一题解答．A:如图2.在(1)的条件下.连接BD.过点D作DP⊥DB交线段AC于点P.请判断线段DB与DP的数量关系.并说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．

（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；

（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．

A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；

B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．

我选择：　　．

【答案】（1）DE⊥DA，详见解析；（2）A、DB=DP；B、DB=DP．详见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据平行线的性质得到∠DAE=∠B=45°，根据等腰三角形的性质即可得证；

（2）A：根据同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，证明△DEB≌△DAP，根据全等三角形的性质定理证明结论；

B：与题A的证明方法类似，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，证明△DFB≌△DAP即可．

解：（1）DE⊥DA；

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵MN∥BC，

∴∠DAE=∠B=45°（两直线平行，内错角相等），

又∵DA=DE，

∴∠DEA=∠DAE=45°，

∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；

（2）A：DB=DP；

证明：∵DP⊥DB，

∴∠BDE+∠EDP=90°，

又∵DE⊥DA，

∴∠ADP+∠EDP=90°，

∴∠BDE=∠ADP，

∵∠DEA=∠DAE=45°，

∴∠BED=135°，∠PAD=135°，

∴∠BED=∠PAD，

在△DEB和△DAP中，

，

∴△DEB≌△DAP（AAS），

∴DB=DP（三角形全等其对应边相等）．

B：DB=DP；

证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，

由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，

∴∠ADF=90°，

又∵DP⊥DB，

∴∠FDB=∠AMP，

∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，

∴∠PAM=45°，

∴∠BFD=∠PAM，

在△DFB和△DAP中，

，

∴△DFB≌△DAP（ASA），

∴DB=DP（三角形全等其对应边相等）．

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