Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）和点B（1，4）
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线于y轴交于点D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小？若存在试求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）把A点和B点坐标代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先确定D点坐标和抛物线的对称轴，再确定A点在抛物线上的对称点C的坐标，利用两点之间线段最短可得到CD与直线x=1的交点P能使△PAD周长最小，然后利用待顶系数法求出CD的解析式，再计算自变量为1时的函数值即可得到P点坐标．

解答：解：（1）根据题意得

-1-b+c=0 -1+b+c=4

，解得

b=2 c=3

，
所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）存在．
当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则D（0，3），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则抛物线的对称轴为直线x=1，
点A（-1，0）关于直线x=1的对称点C的坐标为（3，0），
连结CD交直线x=1于P，此时△PAD周长，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
把C（3，0），D（0，3）代入得

3m+n=0 n=3

，解得

m=-1 n=3

，
所以直线CD的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-x+3=2，
所以此时P点坐标为（1，2）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．