Question

【题目】如图，点为等边三角形内一点，连接，，，以为一边作，且，连接、.

(1)判断与的大小关系并证明；

(2)若，，，判断的形状并证明．

Answer 1

【答案】（1）AO=CM,见解析；（2）△OMC是直角三角形，见解析.

【解析】

（1）可证出△OBM是等边三角形，得出OM=OB=BM，由∠ABC=∠OBM得出∠ABO=∠CBM，根据SAS证明△AOB≌△CMB，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．

解：（1）AO=CM；理由如下：
∵∠OBM=60°，OB=BM，
∴ △OBM是等边三角形
∴ OM=OB=BM，
∠ABC=∠OBM=60°
∴∠ABO=∠CBM，
在△AOB和△CMB中， ，
∴△AOB≌△CMB（SAS），
∴ AO=CM；
（2）△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM2=100，OC2+CM2=62+82=100，
∴OM2=OC2+CM2，
∴△OMC是直角三角形.

故答案为：（1）AO=CM,见解析；（2）△OMC是直角三角形，见解析.