在平面直角坐标系xOy中.抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A.且与x轴的一个交点为B(3.0)．(1)求抛物线C1的表达式,(2)D是抛物线C1与x轴的另一个交点.点E的坐标为(m.0).其中m＞0.△ADE的面积为$\frac{21}{4}$．①求m的值,②将抛物线C1向上平移n个单位.得到抛物线C2．若当0≤x≤m时.抛物线C2与x轴只有一个公共点.结合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A（2，-3），且与x轴的一个交点为B（3，0）．
（1）求抛物线C₁的表达式；
（2）D是抛物线C₁与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为$\frac{21}{4}$．
①求m的值；
②将抛物线C₁向上平移n个单位，得到抛物线C₂．若当0≤x≤m时，抛物线C₂与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围．

分析（1）把A点和B点坐标分别代入y=x²+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）①通过解方程x²-2x-3=0可得D点坐标，然后根据面积公式得到$\frac{1}{2}$×3×（m+1）=$\frac{21}{4}$，再解关于m的方程即可；
②利用抛物线的平移变换，可设抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-4+n，讨论：分别求出抛物线C₂过点E和原点时对应的n的值，并且画出函数图象，利用函数图象可确定n的范围；当抛物线C₂的顶点在x轴上，易得n=4，此时顶点满足条件，然后综合两种情况即可得到n的取值范围．

解答解：（1）把A（2，-3）、B（3，0）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）①当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则D（-1，0），
∵△ADE的面积为$\frac{21}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×3×（m+1）=$\frac{21}{4}$，
∴m=$\frac{5}{2}$；
②∵抛物线C₁的解析式为y=（x-1）²-4，
∴抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-4+n，
当抛物线C₂经过点E（$\frac{5}{2}$，0）时，（$\frac{5}{2}$-1）²-4+n=0，解得n=$\frac{7}{4}$，
当抛物线C₂经过点（0，0）时，（0-1）²-4+n=0，解得n=3，
∵当0≤x≤$\frac{5}{2}$时，抛物线C₂与x轴只有一个公共点，
∴由图象可得$\frac{7}{4}$≤n＜3时，满足条件；
当抛物线C₂的顶点在x轴上，则n=4，此时顶点坐标为（1，4），满足条件，
综上所述，n的取值范围为n=4或$\frac{7}{4}$≤n＜3．

点评本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．利用数形结合的思想是解决（2）小题的关键．

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