Question

1．抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线过C点，可得出c=-3，对称轴x=1，则-$\frac{b}{2a}$=1，然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中，联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式．
（2）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心必在对称轴上．因此可用半径r表示出M、N的坐标，然后代入抛物线中即可求出r的值．

解答 解：（1）将C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
得c=-3．
将c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直线x=1是对称轴，
∴-$\frac{b}{2a}$=1（2）
将（2）代入（1）得
a=1，b=-2．
所以，二次函数得解析式是y=x²-2x-3．

（2）设M（x₁，y）、N（x₂，y），所求圆的半径为r，
则x₂-x₁=2r，①
∵对称轴为直线x=1，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，
∴x₂+x₁=2，②
由①、②得：x₂=r+1，③
将N（r+1，y）代入解析式y=x²-2x-3，
得y=（r+1）²-2（r+1）-3，
整理得：y=r²-4，
由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，
当y＞0时，r²-r-4=0，
解得，r₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，r₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
当y＜0时，r²+r-4=0，
解得，r₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，r₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去）．
所以圆的半径是$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、轴对称图形等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，正确的画出图形是解题的关键．