Question

9．已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（-2，0），（2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
②是否存在这样的k值，使得△ABP的面积是△ABD面积的$\frac{1}{2}$？如果存在求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标，可得顶点式解析式，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据切线的性质，可得CE与CA的关系，根据直角三角形的性质，可得∠EDC的度数，根据正切函数，可得答案；
（3）根据解方程组，可得P点坐标，根据三角形的面积间的关系，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由抛物线的顶点为（0，4），
可设抛物线解析式为y=ax²+4．
由抛物线过点（2，0），得
0=4a+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+4；


（2）①如图，连接CE，CD．

∵OD是⊙C的切线，
∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°．
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=CDtan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
②平移k个单位后的抛物线的解析式是y=（x-k）²+4
它与y=x²+4交于点P，可得点P的坐标是（$\frac{k}{2}$，-$\frac{{k}^{2}}{4}$+4），
∴当k＜4时，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•y_P=$\frac{1}{2}$×4（4-$\frac{{k}_{2}}{4}$）=8-$\frac{{k}^{2}}{2}$；
当k＞4时，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•y_P=$\frac{1}{2}$×4（$\frac{{k}^{2}}{4}$-4）=$\frac{{k}^{2}}{2}$-8
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•_D=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴$8-\frac{k^2}{2}=4$或$\frac{k^2}{2}-8=4$，解得k=2$\sqrt{2}$或k=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用切线的性质得出CE的长，利用直角三角形的性质得出∠EDC的度数，又利用了正切函数；（3）利用三角形面积间的关系得出关于k的方程是解题关键，注意要分类讨论，以防遗漏．