Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）．

（1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=的图象上，则k=　 　；

（2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为　 　，∠BOB′的大小是　 　度．

（3）点P在抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围．

（4）抛物线y=（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) －2；(2) y=x+，90；(3) m＜0，m=或m=；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．

【解析】

（1）先求出A的变换点A′，然后把A′代入反比例函数即可得到结论；

（2）确定点B′的坐标，把问题转化为方程组解决；

（3）分三种情形讨论：①当m＜0时；②当m≥0，PP'⊥x轴时；③当m≥0，MN⊥x轴时．

（4）利用菱形的性质，得到点E与点P'关于x轴对称，从而得到点P'的坐标为（2，﹣n）．分两种情况讨论：①当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．

（1）∵A（2，1）的变换点为A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=中，得到k=－2．

故答案为：－2．

（2）点B（2，4）的变换点B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中．

得到：，解得：，∴．

∵OB2==20，OB′2==20，BB′2==40，∴OB2+OB′2=BB′2，∴∠BOB′=90°．

故答案为：y=x+，90．

（3）①当m＜0时，点P与点P'关于y轴对称，此时MN垂直于x 轴，所以m＜0．

②当m≥0，PP'⊥x轴时，则点P'的坐标为（m，m），点P的坐标为（m，﹣m）．

将点P（m，﹣m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：﹣m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合题意，舍去）．

所以．

③当m≥0，MN⊥x轴时，则PP'∥x轴，点P的坐标为（m，m）．

将点P（m，m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合题意，舍去）．

所以．

综上所述：m的取值范围是m＜0，m=或m=．

（4）∵四边形ECP'D是菱形，∴点E与点P'关于x轴对称．

∵点E的坐标为（2，n），∴点P'的坐标为（2，﹣n）．

①当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8．

②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3．

综上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．