如图.平面直角坐标系中.点A.B.C在x轴上.点D.E在y轴上.OA=OD=2.OC=OE=4．B为线段OA的中点．直线AD与经过B.E.C三点的抛物线交于F.G两点.与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点．PQ∥y轴与抛物线交于点Q．(1)求经过B.E.C三点的抛物线的解忻式,(2)判断△BDC的形状．并绐出证明,当P在什么位置时.以P.O.C为顶点的三角形是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4．B为线段OA的中点．直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合）．PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解忻式；
（2）判断△BDC的形状．并绐出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N．连接QN．探究四边形PMNQ能否为菱形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）首先求出点B、C、E的坐标，进而设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，列出a、b和c的三元一次方程组，求出a、b和c的值即可；
（2）利用勾股定理的逆定理即可求出△CBD是直角三角形；分OP=OC，PC=OC和PC=PO三种进行进行讨论即可；
（3）首先求出MN的值，再用x表示出PQ的长，利用菱形的性质即可列出x的一元二次方程，求出x的值，进而作出判断．

解答解：（1）∵OA=OD=2，B为线段OA的中点，
∴OB=1，
∴点B坐标为（-1，4），
∵OC=OE=4，
∴点E（0，4），点C（4，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4；
（2）△BDC是直角三角形；
∵BD²=BO²+DO²=5，CD²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BDC是直角三角形；
∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2），
∴直线AD的解析式为y=x+2，
设点P坐标为（x，x+2），
当OP=OC时，x²+（x+2）²=16，
解得x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$（不符合题意，舍去），
此时点P（1+$\sqrt{7}$，3+$\sqrt{7}$），
当PC=OC时，（x+2）²+（4-x）²=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
则点P的横坐标是2，点P的纵坐标为4，此时点P坐标为（2，4），
综上，当△POC是等腰三角形时，点P的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3+$\sqrt{7}$）或（2，4）．
（3）∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴点N坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∵点M在直线AC上，
∴点M坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴MN=$\frac{11}{4}$，
设点P为（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2，
若PQMN是菱形，则PQ=MN，
即$\frac{11}{4}$=-x²+2x+2，
解得x₁=0.5，x₂=1.5，
当x₂=1.5时，点P与点M重合；
当x₁=0.5时，求得PM=$\sqrt{2}$，所以菱形不存在．

点评本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求出函数解析式、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质等知识，解答本题（2）问的关键是对等腰三角形进行分类讨论，解答（3）问的关键是求出MN的长以及用x表示PQ的长，此题有一定的难度．

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