Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，它的内切圆⊙O分别与边AC、BC相切于点E、F，射线BO、A0交直线EF于点M、N，求证：$\frac{1}{5}$＜$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△ABC}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据∠C=90°，它的内切圆⊙O分别与边AC、BC相切于点E、F，于是得到△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠CEF=∠CFE=45°，由对顶角的性质得到∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，根据外角的性质得到∠NOB=∠AOM=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，于是得到∠M=∠CAN=∠OAB，∠N=∠CBM=∠OBA，推出△NOM∽△AOB，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=（$\frac{\frac{1}{2}OC}{r}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{r}$）=$\frac{1}{2}$，通过整式的化简即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，它的内切圆⊙O分别与边AC、BC相切于点E、F，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，
∴∠NOB=∠AOM=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠M=∠CAN=∠OAB，∠N=∠CBM=∠OBA，
∴△NOM∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=（$\frac{\frac{1}{2}OC}{r}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{r}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{\frac{1}{2}{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}•AB•r}{\frac{1}{2}•AB•h}$=$\frac{r}{2h}$，
∵$\frac{r}{2h}≥\frac{r}{2（\sqrt{2}+1）r}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$＞$\frac{1}{5}$$\frac{r}{2h}＜\frac{r}{2×2r}$=$\frac{1}{4}$，（h＞2r）
∴$\frac{1}{5}$＜$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△ABC}}$＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形的内切圆的性质是解题的关键．