Question

10．已知以x为自变量的二次函数y=x²+2mx+m-14．
（1）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（2，0）的两侧，关于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，关于x的另一方程x²+2（a+m+1）x+2a-m²+6m-2=0有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．

Answer 1

分析 （1）依题意得出当x=2时函数值小于0，那么m＜2；由抛物线有两个实数根求出△≥0，联立求出m值；
（2）在（1）的条件下，根据求根公式求出x的值，然后求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数开口向上，且与x轴的交点在点（2，0）的两侧，
∴当x=1时，y=4+4m+m-14＜0
解得：m＜2，①
∵关于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有两个实数根，
∴△=（2m+3）²-4m²≥0，且m²≠0，
解得：m≥$-\frac{3}{4}$，且m≠0，②
∵m为整数，
∴由①②得：m=1；
（2）当m=1时，方程x²+2（a+m+1）x+2a-m²+6m-2=0可化为x²+2（a+2）x+2a+3=0，
根据求根公式，得：$x=\frac{-2（a+2）±\sqrt{[2（a+2）]^{2}-4（2a+3）}}{2}$=$\frac{-2（a+2）±2（a+1）}{2}$，
∴x₁=-1，x₂=-2a-3，
∵方程有大于0且小于5的实数根，
∴0＜-2a-3＜5，
∴-4＜a＜$-\frac{3}{2}$，
∴a的整数值为：-3，-2．

点评 本题主要考查二次函数的图象与x轴的交点个数与系数的关系、一元二次方程的根．熟记二次函数的图象与x轴的交点个数与系数的关系是解题的关键．