Question

已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A坐标分别代入正比例与反比例解析式中求出a与k的值，即可确定出两函数解析式；
（2）在图象上找出反比例在正比例上方时x的范围即可；
（3）BM=DM，理由为：由反比例函数k的几何意义得到三角形OBM与三角形OAC面积为k的绝对值的一半，求出面积，矩形OBDC的面积=三角形OBM面积+四边形OADM面积+三角形OAC面积，求出矩形OBDC的面积，即为OB与OC的积，由OC的长求出OB的长，即为n的值，将n的值代入反比例解析式中求出m的值，即为BM的长，由BD-BM求出MD的长，即可作出判断．

解答：解：（1）将A（3，2）分别代入y=

k

x

，y=ax得：k=6，a=

2

3

，
则反比例解析式为y=

6

x

，正比例解析式为y=

2

3

x；
（2）由图象得：在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）BM=DM，理由为：
∵S_△OMB=S_△OAC=

1

2

×|k|=3，
∴S_矩形OBDC=S_{四边形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12，即OC•OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4，
∴m=

6

n

=

3

2

，
∴MB=

3

2

，MD=3-

3

2

=

3

2

，
则MB=MD．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．