【题目】如图,抛物线y=ax2+x+c过A(﹣1,0),B(0,2)两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)M为抛物线对称轴与x轴的交点,N为x轴上对称轴上任意一点,若tan∠ANM=,求M到AN的距离.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAB为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)M到AN的距离;(3)满足条件的点P的坐标为P(1,1)或P(1,﹣1)或P(1,0)或P(1,).
【解析】
(1)直接用待定系数法求出抛物线解析式即可;(2)先确定出抛物线对称轴,由tan∠ANM==求得MN的长,再求得AN的长,在Rt△AMN中,用面积公式求得M到AN的距离即可;(3)设出点P的坐标,表示出AB,AP,BP,分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况求解即可.
(1)∵抛物线y=ax2+x+c过A(﹣1,0),B(0,2)两点,
∴
∴,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)由(1)有,抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
∴抛物线对称轴为x=1,
∴M(1,0),
∴AM=2,
∵tan∠ANM=,
∴,
∴MN=4,
∵N为x轴上对称轴上任意一点,
∴N(1,4),
∴AN==2,
设M到AN的距离为h,
在Rt△AMN中, AM×MN=AN×h,
∴h===,
∴M到AN的距离;
(3)存在,
理由:设点P(1,m),
∵A(﹣1,0),B(0,2),
∴AB=,AP=,BP=,
∵△PAB为等腰三角形,
∴①当AB=AP时,
∴=,
∴m=±1,
∴P(1,1)或P(1,﹣1),
②当AB=BP时,
∴=,
∴m=4或m=0,
∴P(1,4)(此时点A,B,P三点共线,故舍去)或P(1,0);
③当AP=BP时,
∴=,
∴m=,
∴P(1,);
即:满足条件的点P的坐标为P(1,1)或P(1,﹣1)或P(1,0)或P(1,).
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【题目】阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数,如:我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
如这样的分式就是假分式;再如:,这样的分式就是真分式类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式)
如:;
解决下列问题:
(1)分式是______分式(填“真分式”或“假分式”);
(2)将假分式化为带分式;
(3)如果x为整数,分式的值为整数,求所有符合条件的x的值.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积.
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【题目】如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=﹣,y=的图象交于B、A两点,则tan∠OAB的值的变化趋势为( )
A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 时大时小 D. 保持不变
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【题目】某篮球队要从小军和小勇两名队员中选派一人参加市篮球协会的投篮比赛,在最近的十次选拔测试中,他俩投篮十次的进球个数如下表所示:
小军 | 7 | 8 | 8 | 8 | 8 | 9 | 8 | 9 | 7 | 8 |
小勇 | 7 | 8 | 9 | 5 | 9 | 10 | 7 | 10 | 9 | 6 |
(l)请填写下表:
平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 | |
小军 | 8 | 8 | ______ | span>2 | ______ |
小勇 | ______ | ______ | 9 | _______ | 2.6 |
(2)历届比赛成绩表明,十次投进八球就很可能获奖但很难夺冠,十次投进九球就很可能夺冠,那么你认为想要获奖应该派谁参赛,想要夺冠应该派谁参赛?请说明理由.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.
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【题目】如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.
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【题目】某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)
与每件销售价x(元)的关系数据如下:
x | 30 | 32 | 34 | 36 |
y | 40 | 36 | 32 | 28 |
(1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元?
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元),求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?
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【题目】如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为米.
(1)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽;
(2)能否设计出符合题目要求,且长方形花圃的形状与原长方形空地的形状相似的花圃?若能,求出此时通道的宽;若不能,则说明理由.
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