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【题目】如图,梯形ABCD中,ABCD,AB=14,AD= 4 , CD=7.直线l经过A,D两点,且sinDAB=动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点PPM垂直于AB,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),MPQ的面积为S.

(1)求腰BC的长;

(2)QBC上运动时,求St的函数关系式;

(3)(2)的条件下,是否存在某一时刻t,使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;

(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?

【答案】15;(2S=﹣5t2+14t(0t≤1)(3)不存在,理由见解析;(4t=t=

【解析】

试题(1)利用梯形性质确定点D的坐标,利用sin∠DAB=特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,求出梯形的高,然后利用勾股定理求出BC有长;

2)当0t≤1时,S=×2t×14﹣5t=﹣5t2+14t

3)在(2)的条件下,不存在某一时刻t,使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的

4△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论,避免漏解.

试题解析:(15

2)当0t≤1时,S=×2t×14﹣5t=﹣5t2+14t

3)梯形ABCD的面积为42

﹣5t2+14t=42程无解,所以△MPQ的面积不能为梯形ABCD

4△QMN为等腰三角形,有两种情形:

如图4所示,点M在线段NM的右侧上

MQ=CD-DM-CQ=7-2t-4-5t-5=16-7tMN=DM=2t-4

MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=

如图5所示,当QMN的左侧时,5t-5+2t-4-7=2t-4+4-4

解得:t=

故当t=t=时,△QMN为等腰三角形.

考点: 一次函数综合题.

练习册系列答案
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【题目】四个命题:

三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分;

有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;

点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(1,2);

两圆的半径分别是3和4,圆心距为d,若两圆有公共点,则

其中正确的是

A. ①② B.①③ C.②③ D.③④

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【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)求C、D两点坐标及BCD的面积;

(3)若点P在x轴上方的抛物线上,满足SPCD=SBCD,求点P的坐标.

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.

(1)求直线AE的解析式;

(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;

(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】如图,点O在边长为6的正方形ABCD的对角线AC上,以O为圆心OA为半径的⊙OAB于点E.

(1)⊙O过点E的切线与BC交于点F,当0<OA<6时,求∠BFE的度数;

(2)设⊙OAB的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交BC的延长线于点N,当6<OA<12时,利用备用图作出图形,求∠BNM的度数.

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【题目】已知:红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).

(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;

(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);

(3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.

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【题目】定义:在平面直角坐标系中,点Q坐标为(x,y),若过点Q的直线lx轴夹角为45°时,则称直线l为点Q的“湘依直线”.

(1)已知点A的坐标为(6,0),求点A的“湘依直线”表达式;

(2)已知点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,且与x轴交于C点,动点P在反比例函数y=(x>0)上,求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标;

(3)已知点M的坐标为(0,2),经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+(m﹣2)x+m+2相交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范围.

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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= .对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.

(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;

(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;

(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

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【题目】如图,反比例函数上有一点,点横坐标为1,过点的直线轴分别交于点、点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)将直线沿轴方向向下平移使其过反比例函数的右支图象上的点,且点横坐标为,直线交轴于点,连接,求.

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