【题目】定义:在平面直角坐标系中,点Q坐标为(x,y),若过点Q的直线l与x轴夹角为45°时,则称直线l为点Q的“湘依直线”.
(1)已知点A的坐标为(6,0),求点A的“湘依直线”表达式;
(2)已知点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,且与x轴交于C点,动点P在反比例函数y=(x>0)上,求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标;
(3)已知点M的坐标为(0,2),经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+(m﹣2)x+m+2相交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范围.
【答案】(1)y=x﹣6或y=﹣x+6;(2)△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,4);(3)m的取值范围是1≤m≤3.
【解析】
(1)由“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=x或y=﹣x平行.设点A的“湘依直线”表达式为:y=x+b或y=﹣x+b,将A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b,由此求得b值,即可求点A的“湘依直线”表达式;(2)先求得过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,再求得C点的坐标为(﹣4,0),即可得△OCD是等腰直角三角形,所以CD=4.因为线段CD的长度为定值,可知当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,由此即可解答;(3)求得过点M的“湘依直线”为y=x+2,把抛物线的解析式和过点M的“湘依直线”联立后整理可得x2+(m﹣3)x+m=0,根据根与系数的关系可x1+x2=3﹣m,x1x2=m.由0≤x1≤2,0≤x2≤2,可知0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.由此即可求得m的取值范围.
由“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=x或y=﹣x平行.
(1)设点A的“湘依直线”表达式为:y=x+b或y=﹣x+b,
将A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b
解得b=﹣6或b=6.
故点A的“湘依直线”表达式为:y=x﹣6或y=﹣x+6;
(2)∵点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,
∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,
∴C(﹣4,0),即△OCD是等腰直角三角形,
∴CD=4.
∵线段CD的长度为定值,
∴当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,
又∵点P在反比例函数y=(x>0)图象上,
∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点,如图,
∵直线CD与直线y=﹣x平行,
∴点P在直线y=x上,
故设P(a,a),
∴a=,
解得a=4(舍去负值).
此时P(4,4),
S△PCD=×4×(4+2)=24.
综上所述,△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,4);
(3)∵点M的坐标为(0,2),过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限,
∴过点M的“湘依直线”为y=x+2,
则由题意知,
整理,得x2+(m﹣3)x+m=0
∴x1+x2=3﹣m,x1x2=m.
又0≤x1≤2,0≤x2≤2,
∴0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.
即0≤3﹣m≤4,0≤m≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.
解得,1≤m≤3.
故m的取值范围是1≤m≤3.
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【题目】已知点O是坐标原点,反比例函数y=的图像经过A(,1).
(1)求此反比例函数的解析式;
(2)将线段OA绕O逆时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由.
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【题目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC,点D在直线AB上,连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,
(1)如图1,①点D在AB边上,直接写出线段BE和线段AD的关系;
(2)如图2,点D在B右侧,BD=1,BE=5,求CE的长.
(3)拓展延伸
如图3,∠DCE=∠DBE=90,CD=CE,BC=,BE=1,请直接写出线段EC的长.
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)选择题:图1是一个长2a、宽2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形.然后,按图2那样拼成一个(中间空的)正方形,则中间空的部分面积是( )
A.2ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
(2)如图3,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个图形的面积.据此,你能发现什么结论,请直接写出来:
(3)如图4,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接BD和BF.若两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,求阴影部分的面积.
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【题目】为弘扬中华民族传统文化,某市举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小华参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是多少?
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次.则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少?小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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【题目】甲乙两名同学做摸球游戏,他们把三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
(1)求从袋中随机摸出一球,标号是1的概率;
(2)从袋中随机摸出一球后放回,摇匀后再随机摸出一球,若两次摸出的球的标号之和为偶数时,则甲胜;若两次摸出的球的标号之和为奇数时,则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
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