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【题目】定义:在平面直角坐标系中,点Q坐标为(x,y),若过点Q的直线lx轴夹角为45°时,则称直线l为点Q的“湘依直线”.

(1)已知点A的坐标为(6,0),求点A的“湘依直线”表达式;

(2)已知点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,且与x轴交于C点,动点P在反比例函数y=(x>0)上,求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标;

(3)已知点M的坐标为(0,2),经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+(m﹣2)x+m+2相交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范围.

【答案】(1)y=x﹣6y=﹣x+6;(2)△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,4);(3)m的取值范围是1≤m≤3.

【解析】

(1)由“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=xy=﹣x平行.设点A的“湘依直线”表达式为:y=x+by=﹣x+b,A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b,由此求得b值,即可求点A的“湘依直线”表达式;(2)先求得过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,再求得C点的坐标为(﹣4,0),即可得△OCD是等腰直角三角形,所以CD=4因为线段CD的长度为定值,可知当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,由此即可解答;(3)求得过点M的“湘依直线”为y=x+2,把抛物线的解析式和过点M的“湘依直线”联立后整理可得x2+(m﹣3)x+m=0,根据根与系数的关系可x1+x2=3﹣m,x1x2=m.0≤x1≤2,0≤x2≤2,可知0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.由此即可求得m的取值范围.

由“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=xy=﹣x平行.

(1)设点A的“湘依直线”表达式为:y=x+by=﹣x+b,

A(6, 0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b

解得b=﹣6b=6.

故点A的“湘依直线”表达式为:y=x﹣6y=﹣x+6;

(2)∵点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,

∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,

∴C(﹣4,0),即△OCD是等腰直角三角形,

∴CD=4

∵线段CD的长度为定值,

∴当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,

又∵点P在反比例函数y=(x>0)图象上,

∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点,如图,

∵直线CD与直线y=﹣x平行,

∴点P在直线y=x上,

故设P(a,a),

∴a=

解得a=4(舍去负值).

此时P(4,4),

SPCD=×4×(4+2)=24.

综上所述,△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,4);

(3)∵点M的坐标为(0,2),过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限,

∴过点M的“湘依直线”为y=x+2,

则由题意知,

整理,得x2+(m﹣3)x+m=0

∴x1+x2=3﹣m,x1x2=m.

0≤x1≤2,0≤x2≤2,

∴0≤x1+x2≤4,0≤x1x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.

0≤3﹣m≤4,0≤m≤4且(m﹣3)2﹣4m≥0.

解得,1≤m≤3.

m的取值范围是1≤m≤3.

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