Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，点D在直线AB上，连接CD，在CD的右侧作CE⊥CD，CD＝CE，

（1）如图1，①点D在AB边上，直接写出线段BE和线段AD的关系；

（2）如图2，点D在B右侧，BD＝1，BE＝5，求CE的长．

（3）拓展延伸

如图3，∠DCE＝∠DBE＝90，CD＝CE，BC＝，BE＝1，请直接写出线段EC的长．

Answer 1

【答案】（1）AD⊥BE；（2）CE＝；（3）CE＝．

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到AD＝BE，∠A＝∠CBE，求得∠ABE＝90°，于是得到结论；

（2）如图2，连接BE，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠CBE，推出∠DBE＝90°，根据勾股定理得到DE＝＝＝，即可得到结论；

（3）如图3，过C作CA⊥BC交DB于A，根据已知条件得到D，E，B，C四点共圆，求得∠CDA＝∠CEB，根据全等三角形的性质得到AD＝BE＝1，AC＝BC，得到△ACB是等腰直角三角形，于是得到结论．

解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，

∵∠A+∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AD⊥BE；

（2）如图2，连接BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠A＝∠CBE，

∵∠A+∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴∠DBE＝90°，

∵BD＝1，BE＝5，

∴DE＝＝＝，

∵CD＝CE，∠DCE＝90°，

∴CE＝DE＝；

（3）如图3，过C作CA⊥BC交DB于A，

∵∠DCE＝90°，

∴∠DCA＝∠ECB，

∵∠DCE＝∠DBE＝90°，

∴D，E，B，C四点共圆，

∴∠CDA＝∠CEB，

∵CD＝CE，

∴△CDA≌△CEB（ASA），

∴AD＝BE＝1，AC＝BC，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴AB＝BC＝2，

∴BD＝3，

∴DE＝＝＝，

∴CE＝DE＝．