Question

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为量求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-4，0）、B（-l，0）代入y=ax²+bx+3，运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（2）先求得直线AC的解析式，过D作DE∥y轴，交AC于点E，设D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），E（m，$\frac{3}{4}$m+3）（-4＜m＜-1），求得DE=-$\frac{3}{4}$m²-3m，根据三角形面积公式求得S=$\frac{1}{2}$DE×4=-$\frac{3}{2}$（m+2）²+6，得到S关于m的解析式，根据二次函数的解析式即可求得．
（3）以AC为直径作圆交抛物线的对称轴于P，求得AC的中点O坐标，求得对称轴方程，然后设P（-$\frac{5}{2}$，y），依据OP=$\frac{AC}{2}$=$\frac{5}{2}$，根据勾股定理得出（-2+$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-y）²=（$\frac{5}{2}$）²，解方程即可求得．

解答 解：（1）将A（-4，0）、B（-l，0）代入y=ax²+bx+3得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．
故抛物线的函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3；
（2）令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
代入A（-4，0）、C（0，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3；
过D作DE∥y轴，交AC于点E，设D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），E（m，$\frac{3}{4}$m+3）（-4＜m＜-1），
则DE=$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），
∴DE=-$\frac{3}{4}$m²-3m，
∴S=$\frac{1}{2}$DE×4=2（-$\frac{3}{4}$m²-3m）=-$\frac{3}{2}$m²-6m=-$\frac{3}{2}$（m+2）²+6，
∴m=-2时，S_最大=6；
故m为-2时S有最大值，最大值是6．
（3）存在点P使得∠APC=90°，
以AC为直径作圆交抛物线的对称轴于P，
∵A（-4，0）、C（0，3），
∴AC的中点O的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$），AC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OP=$\frac{AC}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，
∴对称轴x=$\frac{-4-1}{2}$=-$\frac{5}{2}$，
设P（-$\frac{5}{2}$，y），
∴OP²=（$\frac{AC}{2}$）²，
（-2+$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-y）²=（$\frac{5}{2}$）²，
解得y=$\frac{3}{2}$±$\sqrt{6}$，
∴P的坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合是解题的关键．