Question

求证：方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

无整数解．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：证明题

分析：首先将方程的左边因式分解，进而将该方程转化为二元一次方程组问题即可解决．

解答：解：∵方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

，
∴(

x+1

2

+y)(

x+1

2

-y)=

3

4

，
即（x+2y+1）（x-2y+1）=3，
若该方程有整数解，
则必有：

x+2y+1=1 x-2y+1=3

或

x+2y+1=3 x-2y+1=1

或

x+2y+1=-1 x-2y+1=-3

或

x+2y+1=-3 x-2y+1=-1

，
分别解上述方程组得：

x=1 y=- 1 2

或

x=1 y= 1 2

或

x=-3 y= 1 2

或

x=-3 y=- 1 2

，
这与已知该方程有整数解矛盾，
∴方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

无整数解．

点评：该命题以证明所给的方程无整数解为载体，着重考查了因式分解及其应用问题；解题的关键是准确运用因式分解法将所给方程的左边因式分解．