Question

14．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，0）和M（1，-1），过点M作直线l⊥x轴，直线l上有两动点E和F（点F在点M的上方），且ME=MF．
（1）若点F的坐标为（1，1）．求：
①直线AE的解析式；
②点F到直线AE的距离；
（2）若直线AE与直线OF的交点P的坐标为（4，n），求n的值．

Answer 1

分析 （1）由M（1，-1），F的坐标为（1，1），ME=MF，于是得到E（1，-3），设直线AE的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结果；
（2）根据F的坐标为（1，1），直线OF过原点，于是求得直线OF的解析式为y=x，解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，求得P（3，3），过P作PG⊥l于G，于是求得PG=3-1=2，EF=1-（-3）=4，即可得到S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•PG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，根据勾股定理求得PE=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3+3）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，过F作FD⊥PE于D，根据S_△EFP=$\frac{1}{2}$PE•FD=4列方程即可得到结论；
（3）把点P代入y=x中即可得到结果．

解答 解：（1）∵M（1，-1），F的坐标为（1，1），
∵ME=MF，
∴E（1，-3），
设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
∴直线AE的解析式为y=3x-6；

（2）∵F的坐标为（1，1），直线OF过原点，
∴直线OF的解析式为：y=x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴P（3，3），
过P作PG⊥l于G，
∴PG=3-1=2，
∵EF=1-（-3）=4，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•PG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∴PE=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3+3）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
过F作FD⊥PE于D，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$PE•FD=4，
∴FD=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，即点F到直线AE的距离为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；

（3）∵点P在直线OF上，
∴n=4．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，求两直线的交点坐标，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．